Jika y fungsi bernilai positif dalam t, dan k suatu konstanta persamaan differensial
dy/dt=ky ………….(1)
menyatakan bahwa laju perubahan y sebanding dengan besarnya y pada sembarang waktu t. Persamaan (1) adalah persamaan differensial terpisahkan dan dapat ditulis :
∫dy/y= ∫k dt
Ln y = kt + c
y=e^(kt+c)
y= e^kt+e^c atau y= 〖Ae〗^kt …………………(2)
Dimana A=e^c konstanta sembarang. Nilai konstanta k dalam persamaan (2) tergantung pada sifat masalah. Jika k bernilai positif maka persamaan (2) disebut hukum pertumbuhan eksponensial. Jika k bernilai negative maka persamaan (2) disebut hukum peluruhan eksponensial.
Contoh Soal :
Jumlah bakteri dalam suatu kultur adalah 10.000, setelah dua jam menjadi 40.000. di bawah persyaratan perkembangan yang ideal, menjadi berapakah jumlah bakteri setelah lima jam?
Jawab:
Di bawah persyaratan yang menguntungkan laju perkembangan bakteri dalam suatu kultur sebanding dengan jumlah bakteri pada saat itu. Jika y banyaknya bakteri dalam kultur pada waktu t maka laju perkembangannya adalah:
dy/dt=ky ………………(1)
Dengan k faktor pembanding, dengan mengintegralkan persamaan (1)
dy/y=k dt
∫1/y dy= ∫k dt
ln y = kt + C ………………………………(2)
pada saat awal t = 0 jumlah bakteri 10.000 (y = 10.000) sehingga dengan memasukkan nilai tersebut ke persamaan (2);
ln 10.000 = k(0) + C >>>>>> C = ln 10.000
memasukkan C ke persamaan (2) menjadi:
ln y = kt + ln (10.000)
untuk t = 2 jam, y = 40.000
ln 40.000 = k(2) + ln 10.000
k = 1/2 [ln 40.000 – ln 10.000]
= 1/2 [ ln(40.000/10.000) ] = 1/2 ln 4 = ln 4^(1/2)
= ln √4 = ln 2
Memasukkan k ke persamaan (2) menjadi:
ln y = (ln 2)t + ln 10.000
untuk t = 5 jam y = ….?
ln y = 5 ln 2 + ln 10.000
ln y = ln {2^5 x (10.000)}
y = 320.000
jadi setelah lima jam jumlah bakteri menjadi 320.000
